◆オプション価値とオプション価格
オプション価格とは、市場でオプション価値に付けられる値段のことです。したがって、オプション計算モデル（ＢＳモデル、２項モデル）で計算しているオプション価値というのは理論価格のことを意味します。

２．２項モデルの計算

２項モデルは、（１）原資産価格を予測する、（２）予測された将来のオプション価格から、現在のオプション価格を逆算する、という計算を行うために格子パターンを利用しています。

≪２項モデルのオプション計算式≫

１格子期間の原資産の動きと安全資産の動きを無裁定価格評価理論を使って組み合わせると、オプションのキャッシュフローが模倣できます。
２項モデルのオプション計算式は、この関係を連立方程式にして解いて求めたものです。
ここでいう原資産とは、オプション取引の対象商品で、株式オプションであれば株式のことを、ドル／円の通貨オプションであればドルのことを意味します。
安全資産というのは、デフォルトリスク（債務不履行）のない資産のことで、国債のような商品を意味します。利率が確定している大手銀行の定期預金をイメージしてもよいでしょう。数式上では、短期の借入金はマイナスの安全資産（─Ｂ）として扱います。

参考 ： 連立方程式の計算

≪２項モデル計算の実際≫

２項モデルでは、格子数が多いほど計算は正確になります。しかし、計算時間も長くなるため、通常３５期間ぐらいで計算しています。３５期間でも、６３０回（３５×３６÷２＝６３０）もの繰り返し計算が必要になります。

オプション価格は、次の３つのステップで計算されます。

（１）原資産がどのように変動するか、各格子点順に満期日まで原資産価格を計算します。
（２）満期日のオプションの行使価値（本源価値）を計算します。
（３）２項モデル式を使って、満期日のオプション価値から１期間ずつ、格子を現在までさかのぼる後戻し計算をします。

◆ヨーロピアンタイプのオプション計算

◆アメリカンタイプのオプション計算

２項モデルでは、アメリカンタイプ（満期日前にいつでも行使できる）のプレミアム計算が行えます。オプションが満期日前に行使されるのは、満期日まで保有するより有利な場合です。２項モデルでは、オプションを早期に行使した方が有利かどうか、各ノ−ド（格子点）で調べることができます。

アメリカンタイプの計算は、各ノードで行使した場合の実現価値と、２項モデルで一期先の期待値から計算したオプション価値（保有価値）を比べて、大きい方をその時点のオプション価値として、格子をさかのぼっていく方法です。
※実現価値とは、オプションを早期に行使した場合のオプション価値のことです。これを行使価値と呼ぶと行使価格と混同しやすいので、実現価値と言い換えさせていただきました。

３．個別株式オプションのアメリカンタイプの計算

オプションの原資産は、（１）原資産の利回りが連続的に発生するタイプ、（２）原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプ、の２つに分けられます。

◆原資産の利回りが連続的に発生するタイプ

原資産の利回りが連続的に発生するタイプは、株価指数、外国為替、先物などを原資産とするオプションです。株価指数、外国為替、先物などのオプション計算は、先に説明した手順で計算します。

◆原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプ

原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプは、個別株式や利付債を原資産とするオプションです。配当支払いのある株式オプションでは格子のノードが再結合しなくなるという問題点が発生するため、格子モデルに修正を加えたものを使って評価を行います。

≪配当支払いのある株式オプションの問題点≫

この問題を解決する便法として考えられた方法が、予定配当金額を原資産から切り離して２項モデルを適用するという方法です。

この方法は、配当支払いが予定されている場合、その支払いが起こると、株価（原資産価格）から配当分だけ価格が下がることがわかっているので、この配当分を株価から差し引いた価格が確率的な価格変動過程に従うと仮定するものです。

現在の株価から支払予定配当額の現在価値を差し引いたものを実質株価（Ｓ’）と呼ぶことにします。
配当（Ｄ）を短期金利（安全利子率）で割り引くと、配当の現在価値（Ｄ0）が計算されます。

実質株価Ｓ'は、上昇（Ｕ）するか下降（Ｄ）するかの２項過程に従うことになります。
現在の株価がＳであるとき、配当の現在価値Ｄ0を求めて実質株価Ｓ'を計算します。この実質株価Ｓ'を原資産として２項モデルの計算を行います。

３ヵ月後に配当支払いを予定されている株式オプション（期間 ６ヶ月）のコール価格を求めてみましょう。

コールオプション価格　：　１２．０２

４．Ｂ＆Ｓモデルと２項モデルの違い

Ｂ＆Ｓモデルと２項モデルの違いは、原資産の価格付けを連続的なものと考えるか、離散的なものと考えるかにあります。「連続」か「離散」かという概念は、物の量を液体で量るのか固体（粒子の数）で量るのか、という例えに類似しています。

Ｂ＆Ｓモデルでは、原資産の値動きを切れ目のない液体のようなものとして捉えて、「連続的変動」と仮定しています。その結果、オプションの複製を、微分方程式（瞬間の関係式）として解いたものです。
２項モデルでは、原資産の値動きを断続的に発生するものとして捉えて、「離散的変動」と仮定しています。その結果、オプションの複製を、連立方程式（短期間の関係式）として解いたものです。

２項モデルで、格子の計算期間を無限に短くしていくと、連続的な変動として捉えることになります。したがって、計算する格子数を無限に増やせば、２項モデルの答えは、Ｂ＆Ｓモデルの値と一致することになります。

５．アメリカンタイプのオプション価格計算の裏技　　　　　

ヨーロピアンタイプのオプション価格は、ＢＳモデルを利用して短時間で計算できます。しかし、アメリカンタイプのオプション価格は、ＢＳモデルに相当するモデルがなかったため、２項モデルを利用して計算していました。

２項モデルでは、計算期間（格子数）を大きくするほど、誤差の小さい答えを得ることができます。２項モデルで精度のよい計算をするには、計算期間（格子数）を無限に増やしていけばよいのです。
しかし、計算期間（格子数）を増やすと、計算に要する時間も長くなってしまいます。どうしたら少ない計算期間（格子数）で、誤差の小さい答えを得られるか…これは、２項モデルの最大の関心事です。

そこで、アメリカンタイプの計算に、ヨーロピアンタイプの計算を利用する方法が考案されました。

ヨーロピアンタイプのオプション価格を、計算期間（格子数）を１０回ぐらいに設定して計算したものと、ＢＳモデルで計算した答えとの間には大きな誤差が生じます。しかし、計算期間（格子数）を１万回ぐらいに設定して計算すると、ＢＳモデルの計算結果と一致します。

しかし、計算期間（格子数）を１万回に設定して計算するのは、時間がかかりすぎて大変です。

そこで、ヨーロピアンタイプの計算における誤差（少ない格子数（例えば４回）で計算した答えと、ＢＳモデルの答えとの誤差）が、アメリカンタイプの計算にも同様にあると仮定する方法が考えられました。

すると、計算期間（格子数）４回で計算したアメリカンタイプの計算の答えに、ヨーロピアンタイプの計算の誤差を加えることで、計算期間（格子数）１万回で計算した答えに近似する答えを得ることができます。

なお、計算期間（格子数）４回で計算したアメリカンタイプとヨーロピアンタイプの計算の差をＢＳモデルの答えに加算して計算する方法…と考えても、計算結果は同じです。

≪参考：オプションでよく目にする文字記号≫