オプション取引入門講座 第10回 ２項モデル（バイノミナルモデル）
講師：有馬秀次
１．２項モデル（バイノミナルモデル）の意味と計算
≪２項モデルとは何か≫
２項モデル（バイノミナルモデル）は、ツリー（樹形）型の価格変動モデルを利用してオプション価格（プレミアム）を計算する近似計算法です。発案者３人の名前から呼び名がついたＣＲＲモデル（コックス・ロス・ルービンシュタイン）も、２項モデルとして広く知られています。
２項モデルは、原資産価格やオプション価格の変動パターンを樹形に当てはめてみることでオプション価格を見つけだそうとするモデルです。オプション価格は原資産価格の動きに付随しているので、将来の原資産価格がわかれば、そこから逆算して現在のオプション価格が求められるというものです。
◆Ｂ＆Ｓモデルとの違い
２項モデルでは、Ｂ＆Ｓモデルのような高度な数学的テクニックを使わずに計算が行えます。計算に時間がかかるのが難点ですが、Ｂ＆Ｓモデルと違ってアメリカンタイプやエキゾチック（非定型オプション）のプレミアム計算ができる点が長所で、オプション評価法の定番になっています。
２項モデルの計算には、汎用ブラックショールズ式と同様に、行使価格、期間、原資産価格、原資産利回り、短期金利（安全利子率）、ボラティリティ（予想変動率）の６つの情報が必要です。
◆ツリー（樹形）型とは
ツリー（樹形）型とは、木が枝分かれしていく様子をいいます。２項樹形は、２つに枝分かれを繰り返していくもので、枝分かれしたもの同士が再結合するという構造の樹形です。ちょうど、ひし形の格子を連ねた形をしているので、これを格子モデルとして説明していきます。
２項モデルでは、原資産価格が格子上を上昇するのか下降するのか、という単純な動きを繰り返すと仮定することによって、原資産価格の変動が説明できると考えています。
≪ノード（結節点）≫
２項モデルで原資産価格が枝分かれしていく経路が再結合する節点のことをノード（結節点）といいます。ノード（結節点）は、価格が上がるか下がるかの分岐点を示します。
３つのノードが形成する三角形を格子の最小単位として１格子と呼ぶことにします。また、１格子を期間の最小単位として１期間と呼ぶことにします。隣り合う格子は、互いにノードを共有しています。
例えば、現在の原資産価格が１００円である場合、１期間後に１０１円に上昇するか、９９円に下降するかのどちらか１つの動きをするとします。
１期間後に１０１円に上昇すると、２期目はさらに上昇して１０２円になるか、下降して１００円になるかです。
１期間後に９９円に下降すると、２期目は上昇して１００円になるか、さらに下降して９８円になるかです。
１期目で上昇して２期目で下降した場合と、１期目で下降して２期目で上昇した場合の原資産価格は、共に１００円となります。
格子を３期間に拡張すると、３期間後には、４通りの原資産価格が予想されます。
１期目は、ノード１００円から１０1円に上がるか９９円に下がるか、という２通りの経路しかありません。格子数は１つです。
２期目は、ノード１０１円から１０２円に上がるか１００円に下がるかという経路と、ノード９９円から１００円に上がるか９８円に下がるかという経路に広がります。格子数は２つになります。
ノード１０１円から下降した場合と、ノード９９円から上昇した場合は共に同じノード１００円に到達します。
３期目には、３つの格子ができることになります。
このように、ｎ期間後にはｎ個の格子ができることがわかります。
３期間の全体の格子数は、６個（１+２+３＝６）になります。
ｎ期間の全体の格子数は、ｎ（n＋１）／２ 個と計算されます。
ｎ期間後の格子数はｎ個
ノード数は ｎ+１
全体の格子数は ｎ(ｎ+1)÷２
◆オプション価値とオプション価格
オプション価格とは、市場でオプション価値に付けられる値段のことです。したがって、オプション計算モデル（ＢＳモデル、２項モデル）で計算しているオプション価値というのは理論価格のことを意味します。
２．２項モデルの計算
２項モデルは、（１）原資産価格を予測する、（２）予測された将来のオプション価格から、現在のオプション価格を逆算する、という計算を行うために格子パターンを利用しています。
（１）原資産価格の予測
現在の原資産価格から将来の原資産価格を予測します。
例えば、現在の原資産価格が１００円であるとして、１期間後に１０％上昇するか下降するかの仮定をすると、１期間後の原資産価格は、
１１０円（１００×１．１＝１１０）か、９１円（１００÷１．１＝９０．９）と予測されます。
上昇率（Ｕｐ）をＵ＝１．１、下降率（down）をｄ＝１÷Ｕ＝０．９１ とすると、
１００×Ｕ または １００×ｄ
で、一期先の原資産価格の計算が行えます。
ＣＲＲモデルでは、U＝ｅ σ√t 、ｄ＝ｅ -σ√t と設定して計算します。
※実際の計算では、１期間の上昇または下降はごく微小な数値ですが、ここでは計算をわかりやすくするために、１０％という大きな数値で説明しています。
（２）オプション価値の計算
◆現在のオプション価値の計算
将来の原資産価格が予想されると、現在のオプション価値が計算できます。
例えば、行使価格１００円のコールオプションの場合、オプション価値は、
原資産価格が１１０円に上昇した場合のオプション価格（Cu）は、1０円（１１０－１００＝１０）
原資産価格が９１円に下降した場合のオプション価格（Cｄ）は、０円（オプション放棄） と計算されます。
Ｃ＝コールオプション価格、Ｓ＝原資産価格、Ｋ＝行使価格
※ｕは上昇（ｕｐ）、ｄは下降（down）を意味しています。
◆１期前のオプション価値の計算（後戻し計算）
２項モデルのオプション計算式を使うと、１期間後の２つのオプション価格を使って、1期前のオプション価格を計算することができます。
例えば、Ｃｕ＝１０、Ｃｄ＝０ Ｐ＝０．６ Ｒ＝１ であった場合、次のように計算されます。
Ｃ＝コールオプション価格、Ｒ＝現在価値を計算する割引率、Ｐ＝確率
Ｐ＝（Ｒ－ｄ）/（u－ｄ）
ただし、ｕ＝ｅ σ√t/n ｄ＝１／ｕ R＝ｅ ｒ ・t/n
ｅ＝ネピアの数（すう）、σ＝予想変動率、ｒ＝短期金利、ｔ ＝オプション行使期間、ｎ＝分割数
≪２項モデルのオプション計算式≫
１格子期間の原資産の動きと安全資産の動きを無裁定価格評価理論を使って組み合わせると、オプションのキャッシュフローが模倣できます。
２項モデルのオプション計算式は、この関係を連立方程式にして解いて求めたものです。
ここでいう原資産とは、オプション取引の対象商品で、株式オプションであれば株式のことを、ドル／円の通貨オプションであればドルのことを意味します。
安全資産というのは、デフォルトリスク（債務不履行）のない資産のことで、国債のような商品を意味します。利率が確定している大手銀行の定期預金をイメージしてもよいでしょう。数式上では、短期の借入金はマイナスの安全資産（─Ｂ）として扱います。
株式オプションを例にとり、原資産である株式とマイナスの安全資産である借入金で、オプションと同じキャッシュフローを模倣してみましょう。
数式 Ｃ＝ΔＳ─Ｂ とおき、これを使ってオプションが上昇した場合（Ｃｕ）と下降した場合（Ｃｄ）の連立方程式を設定します。Ｒ＝（１+ｒ）で ｒ は安全利子率を意味します。ｒ が1％であるとき、Ｒは１．０１となります。
Δ（デルタ）：ヘッジ比率、Ｓ：原資産価格、Ｃ：コールオプション価格、Ｂ：借入金（負の安全資産）
この連立方程式をΔ（デルタ）とＢについて解くと、
Ｃ＝ΔＳ－Ｂ だから、
ただし、U＝ｅ σ√t/n ｄ＝１／U R＝ｅ ｒ ・t/n
※ここで、R＝ｅｒ・t/n は、現在価値を計算する割引率を示しています。
さらに、Ｐ＝（Ｒ－ｄ）/（u－ｄ）とおくと、この計算式は、下記のように変形できます。
Ｐ＝確率、ｎ＝期間数、 ｒ＝短期金利、ｔ ＝期間、ｑ＝原資産利回り、ｅ＝ネピアの数（すう）
この式は、オプションの期待値（平均値）を求め、そこから現在価値を計算することを意味しています。
ここで、原資産が利回り ｑ ％をもつ場合には、ｒ ％を（ｒ－ｑ）％に入れ替えて、Ｐを計算します。
Ｐ＝〔ｅ（ｒ－ｑ）ｔ－ｄ）/（u－ｄ）〕
ｑ は、原資産が株式の場合は配当利回り、原資産が外国為替の場合は外国通貨の金利を意味します。
参考 ： 連立方程式の計算
≪２項モデル計算の実際≫
２項モデルでは、格子数が多いほど計算は正確になります。しかし、計算時間も長くなるため、通常３５期間ぐらいで計算しています。３５期間でも、６３０回（３５×３６÷２＝６３０）もの繰り返し計算が必要になります。
オプション価格は、次の３つのステップで計算されます。
（１）原資産がどのように変動するか、各格子点順に満期日まで原資産価格を計算します。
（２）満期日のオプションの行使価値（本源価値）を計算します。
（３）２項モデル式を使って、満期日のオプション価値から１期間ずつ、格子を現在までさかのぼる後戻し計算をします。
◆ヨーロピアンタイプのオプション計算
ヨーロピアンコールオプション
コールオプション価格 ： ５．２５
表の上段…原資産価格 下段…オプション価格
※下段のオプション価格は、１～３期目はオプションを保有しているときのオプション価値、４期目はオプションを行使したときのオプション価格となります。
≪解説≫
原資産価格が上昇し続けた場合を例にとって計算してみましょう。
オプション価格をさかのぼる後戻し計算をしてみましょう。
◆アメリカンタイプのオプション計算
２項モデルでは、アメリカンタイプ（満期日前にいつでも行使できる）のプレミアム計算が行えます。オプションが満期日前に行使されるのは、満期日まで保有するより有利な場合です。２項モデルでは、オプションを早期に行使した方が有利かどうか、各ノ－ド（格子点）で調べることができます。
アメリカンタイプの計算は、各ノードで行使した場合の実現価値と、２項モデルで一期先の期待値から計算したオプション価値（保有価値）を比べて、大きい方をその時点のオプション価値として、格子をさかのぼっていく方法です。
※実現価値とは、オプションを早期に行使した場合のオプション価値のことです。これを行使価値と呼ぶと行使価格と混同しやすいので、実現価値と言い換えさせていただきました。
アメリカンコールオプション
コールオプション価格 ： ６．１４
表の上段…原資産価格 中段… 実現価値 下段…保有価値
※中段の実現価値は、オプションを行使した場合のオプション価値で、上段の原資産価格から行使価格１００円を差し引いた値です。原資産価格が１００円以下の場合にはオプションは行使されませんので、実現価値は０円となります。
※下段の保有価値は、オプションを保有しているときのオプション価値です。４期目は満期のため、保有価値は空欄となっています。
≪解説≫
原資産価格が上昇し続けた場合を例にとって計算してみましょう。
オプション価格をさかのぼる後戻し計算をしてみましょう。
中段の実現価値と下段の保有価値を比べて、大きい方をオプション価格とします。
計算期間の分割の仕方によって近似値にブレが発生しますが、最小計算期間を短くする（分割数を大きくする）ことでＢ＆Ｓモデルの値に近づいていきます。
この計算法は、株価指数、外国為替、先物を原資産とするオプションに利用されています。
３．個別株式オプションのアメリカンタイプの計算
オプションの原資産は、（１）原資産の利回りが連続的に発生するタイプ、（２）原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプ、の２つに分けられます。
◆原資産の利回りが連続的に発生するタイプ
原資産の利回りが連続的に発生するタイプは、株価指数、外国為替、先物などを原資産とするオプションです。株価指数、外国為替、先物などのオプション計算は、先に説明した手順で計算します。
◆原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプ
原資産の利回りがある時点にまとめて支払われるタイプは、個別株式や利付債を原資産とするオプションです。配当支払いのある株式オプションでは格子のノードが再結合しなくなるという問題点が発生するため、格子モデルに修正を加えたものを使って評価を行います。
≪配当支払いのある株式オプションの問題点≫
配当が支払われると、格子のノードが再結合しなくなります。
例えば、配当５円が１期後に支払われた場合、２期目のノードは一致しなくなります。配当支払後の原資産価格は、配当分だけ下がると考えられるからです。
配当支払後のノードは原資産価格が右例のように下がり、結果的に次期のノードは再結合しなくなります。
こうしたツリー（樹形）型では、計算が複雑になってしまうという問題があります。
この問題を解決する便法として考えられた方法が、予定配当金額を原資産から切り離して２項モデルを適用するという方法です。
株価（Ｓ）＝実質株価（S'） + 配当の現在価値（D0）
この方法は、配当支払いが予定されている場合、その支払いが起こると、株価（原資産価格）から配当分だけ価格が下がることがわかっているので、この配当分を株価から差し引いた価格が確率的な価格変動過程に従うと仮定するものです。
現在の株価から支払予定配当額の現在価値を差し引いたものを実質株価（Ｓ’）と呼ぶことにします。
配当（Ｄ）を短期金利（安全利子率）で割り引くと、配当の現在価値（Ｄ0）が計算されます。
D0＝D×ｅ-ｒｔ S'＝S - D0
実質株価Ｓ'は、上昇（Ｕ）するか下降（Ｄ）するかの２項過程に従うことになります。
現在の株価がＳであるとき、配当の現在価値Ｄ0を求めて実質株価Ｓ'を計算します。この実質株価Ｓ'を原資産として２項モデルの計算を行います。
３ヵ月後に配当支払いを予定されている株式オプション（期間 ６ヶ月）のコール価格を求めてみましょう。
コールオプション価格 ： １２．０２
表の上段…原資産価格 中段… 実現価値 下段…保有価値
現在の株価（Ｓ）が１０７であるとき、配当（Ｄ）＝７．１から、配当の現在価値（Ｄ0）＝６．９２と計算されます。
したがって、Ｓ'＝Ｓ－Ｄ0＝１００．０８となります。
１期目の株価上昇＝S'×（ｅσ√t）＋D0×ｅｒｔ
＝100×（ｅ0.3√0.125）＋6.92×ｅ0.1×0.125
＝118.29
３期目の株価上昇３回＝S'×（ｅσ√t）3
＝100×（ｅ0.3√0.125）3
＝137.57
４．Ｂ＆Ｓモデルと２項モデルの違い
Ｂ＆Ｓモデルと２項モデルの違いは、原資産の価格付けを連続的なものと考えるか、離散的なものと考えるかにあります。「連続」か「離散」かという概念は、物の量を液体で量るのか固体（粒子の数）で量るのか、という例えに類似しています。
Ｂ＆Ｓモデルでは、原資産の値動きを切れ目のない液体のようなものとして捉えて、「連続的変動」と仮定しています。その結果、オプションの複製を、微分方程式（瞬間の関係式）として解いたものです。
２項モデルでは、原資産の値動きを断続的に発生するものとして捉えて、「離散的変動」と仮定しています。その結果、オプションの複製を、連立方程式（短期間の関係式）として解いたものです。
２項モデルで、格子の計算期間を無限に短くしていくと、連続的な変動として捉えることになります。したがって、計算する格子数を無限に増やせば、２項モデルの答えは、Ｂ＆Ｓモデルの値と一致することになります。
５．アメリカンタイプのオプション価格計算の裏技
ヨーロピアンタイプのオプション価格は、ＢＳモデルを利用して短時間で計算できます。しかし、アメリカンタイプのオプション価格は、ＢＳモデルに相当するモデルがなかったため、２項モデルを利用して計算していました。
２項モデルでは、計算期間（格子数）を大きくするほど、誤差の小さい答えを得ることができます。２項モデルで精度のよい計算をするには、計算期間（格子数）を無限に増やしていけばよいのです。
しかし、計算期間（格子数）を増やすと、計算に要する時間も長くなってしまいます。どうしたら少ない計算期間（格子数）で、誤差の小さい答えを得られるか…これは、２項モデルの最大の関心事です。
そこで、アメリカンタイプの計算に、ヨーロピアンタイプの計算を利用する方法が考案されました。
ヨーロピアンタイプのオプション価格を、計算期間（格子数）を１０回ぐらいに設定して計算したものと、ＢＳモデルで計算した答えとの間には大きな誤差が生じます。しかし、計算期間（格子数）を１万回ぐらいに設定して計算すると、ＢＳモデルの計算結果と一致します。
ヨーロピアンタイプのオプション価格では、
２項モデルで計算期間（格子数）を無限に大きくした計算結果と、ＢＳモデルの計算結果が一致する。
２項モデル（計算期間：無限に大きい）＝ＢＳモデル
しかし、計算期間（格子数）を１万回に設定して計算するのは、時間がかかりすぎて大変です。
そこで、ヨーロピアンタイプの計算における誤差（少ない格子数（例えば４回）で計算した答えと、ＢＳモデルの答えとの誤差）が、アメリカンタイプの計算にも同様にあると仮定する方法が考えられました。
すると、計算期間（格子数）４回で計算したアメリカンタイプの計算の答えに、ヨーロピアンタイプの計算の誤差を加えることで、計算期間（格子数）１万回で計算した答えに近似する答えを得ることができます。
なお、計算期間（格子数）４回で計算したアメリカンタイプとヨーロピアンタイプの計算の差をＢＳモデルの答えに加算して計算する方法…と考えても、計算結果は同じです。
≪４期間の場合≫
アメリカン（4期間）＋ヨーロピアン（ＢＳ）－ヨーロピアン（4期間）＝6.14＋5.74－5.25≒6.63
≪参考：オプションでよく目にする文字記号≫
まとめ
２項モデルとは何か
ツリー（樹形）型の価格変動モデルを利用してオプション価格を計算する近似計算法
ノード（結節点）…原資産価格が枝分かれしていく経路が再結合する節点
２項モデルの計算
（１）原資産価格の予測…現在の原資産価格から将来の原資産価格を予測する
（２）オプション価値の計算…現在のオプション価値の計算
１期前のオプション価値の計算（後戻し計算）
オプション価格の計算ステップ
（１）各格子点順に満期日まで原資産価格を計算する
（２）満期日のオプションの行使価値（本源価値）を計算する
（３）２項モデル式を使って、満期日のオプション価値から１期間ずつ後戻し計算する
配当支払いのある株式オプション
配当が支払われると、格子のノードが再結合しなくなるという問題点が発生する
格子モデルに修正を加えたものを使って評価する
Ｂ＆Ｓモデルと２項モデル
２項モデルで計算する格子数を無限に増やせば、Ｂ＆Ｓモデルの値と一致する
アメリカンタイプのオプション価格計算の裏技…少ない計算期間数で計算したアメリカンタイプのオプション価格に、ヨーロピアンタイプの計算で発生する誤差を加えることによって、よりよい近似値が得られる
問題と解答
- ２項モデル（●●ノミナルモデル）は、ツリー（樹形）型の価格変動モデルを利用してオプション価格（プレミアム）を計算する近似計算法です。発案者３人の名前から呼び名がついた●●Ｒモデル（コックス・ロス・ルービンシュタイン）も、２項モデルとして広く知られています。
- ２項モデルで原資産価格が枝分かれしていく経路が再●●する節点のことをノード（結節点）といいます。●●●（結節点）は、価格が上がるか下がるかの分岐点を示します。隣り合う格子は、互いにノードを共有しています。
- ２項モデルは、（１）●●●価格の予測、（２）予測された将来のオプション価格から、●●のオプション価格を逆算する、という計算を行うために格子パターンを利用しています。２項モデルのオプション計算式を使うと、１期間後の２つのオプション価格を使って、１期前のオプション価格を計算することができます。
- １格子期間の原資産の動きと●●資産の動きを無裁定価格評価理論を使って組み合わせると、オプションのキャッシュフローが模倣できます。２項モデルのオプション計算式は、この関係を●●方程式にして解いて求めたものです。
- オプション価格は、（１）各格子点順に満期日まで●●●価格を計算する、（２）満期日のオプションの行使価値（本源価値）を計算する、（３）２項モデル式を使って、満期日のオプション価値から１期間ずつ●●し計算をする、という３つのステップで計算されます。
- ２項モデルでは、●●●カンタイプのプレミアム計算が行えます。アメリカンタイプの計算は、各ノードで行使した場合の実現価値と、２項モデルで一期先の期待値から計算したオプション価値（保有価値）を比べて、●●●方をその時点のオプション価値として、格子をさかのぼっていく方法です。
- 配当支払いのある●●オプションでは、格子の●●●が再結合しなくなるという問題点が発生します。配当支払後の原資産価格は、配当分だけ下がると考えられるからです。そのため、予定配当金額を原資産から切り離して２項モデルを適用します。
- Ｂ＆Ｓモデルでは、原資産の値動きを連続的変動と仮定した結果、オプションの複製を、●●方程式（瞬間の関係式）として解いたものです。２項モデルでは、原資産の値動きを離散的変動と仮定した結果、オプションの複製を、●●方程式（短期間の関係式）として解いたものです。
- ２項モデルで、格子の計算期間を無限に短くしていくと、●●的な変動として捉えることになります。したがって、●●●ピアンタイプのオプション価格では、２項モデルで計算期間を無限に大きくした計算結果と、ブラック・ショールズ式の計算結果は一致します。
- 少ない計算期間数で得た●●●カンタイプのオプション価格に、同じヨーロピアンタイプの計算で発生する誤差を加えることによって、より精度の高いアメリカンタイプの●●値を得ることができます。
（答え）バイ、ＣＲ
（答え）結合、ノード
（答え）原資産、現在
（答え）安全、連立
（答え）原資産、後戻
（答え）アメリ、大きい
（答え）株式、ノード
（答え）微分、連立
（答え）連続、ヨーロ
（答え）アメリ、近似
