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１．２項モデル（バイノミナルモデル）の意味と計算
≪２項モデルとは何か≫
２項モデル（バイノミナルモデル）は、ツリー（樹形）型の価格変動モデルを利用してオプション価格（プレミアム）を計算する近似計算法です。発案者３人の名前から呼び名がついたＣＲＲモデル（コックス・ロス・ルービンシュタイン）も、２項モデルとして広く知られています。
２項モデルは、原資産価格やオプション価格の変動パターンを樹形に当てはめてみることでオプション価格を見つけだそうとするモデルです。オプション価格は原資産価格の動きに付随しているので、将来の原資産価格がわかれば、そこから逆算して現在のオプション価格が求められるというものです。
◆Ｂ＆Ｓモデルとの違い
２項モデルでは、Ｂ＆Ｓモデルのような高度な数学的テクニックを使わずに計算が行えます。計算に時間がかかるのが難点ですが、Ｂ＆Ｓモデルと違ってアメリカンタイプやエキゾチック（非定型オプション）のプレミアム計算ができる点が長所で、オプション評価法の定番になっています。
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モデル |
計算できるオプションのタイプ |
計算速度 |
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Ｂ＆Ｓモデル |
ヨーロピアンタイプ |
非常に短い |
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２項モデル |
ヨーロピアンタイプ、アメリカンタイプ、エキゾチック |
時間がかかる |
２項モデルの計算には、汎用ブラックショールズ式と同様に、行使価格、期間、原資産価格、原資産利回り、短期金利（安全利子率）、ボラティリティ（予想変動率）の６つの情報が必要です。
◆ツリー（樹形）型とは
ツリー（樹形）型とは、木が枝分かれしていく様子をいいます。２項樹形は、２つに枝分かれを繰り返していくもので、枝分かれしたもの同士が再結合するという構造の樹形です。ちょうど、ひし形の格子を連ねた形をしているので、これを格子モデルとして説明していきます。
２項モデルでは、原資産価格が格子上を上昇するのか下降するのか、という単純な動きを繰り返すと仮定することによって、原資産価格の変動が説明できると考えています。
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原資産価格 |
／
＼ |
上昇 |
繰り返す→将来の価格形成 |
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下降 |
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≪ノード（結節点）≫
２項モデルで原資産価格が枝分かれしていく経路が再結合する節点のことをノード（結節点）といいます。ノード（結節点）は、価格が上がるか下がるかの分岐点を示します。
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３つのノードが形成する三角形を格子の最小単位として１格子と呼ぶことにします。
また、１格子を期間の最小単位として１期間と呼ぶことにします。
隣り合う格子は、互いにノードを共有しています。 | |
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１格子 |
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ノード |
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／ |
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↓ |
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／ |
＼ |
| ノード |
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| ノード |
／ |
＼ |
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／ |
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| ノード |
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＼ |
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／ |
＼ |
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| ノード |
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|
＼ |
|
／ |
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ノード |
| |
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|
＼ |
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例えば、現在の原資産価格が１００円である場合、１期間後に１０１円に上昇するか、９９円に下降するかのどちらか１つの動きをするとします。 |
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１期間後に１０１円に上昇すると、２期目はさらに上昇して１０２円になるか、下降して１００円になるかです。
１期間後に９９円に下降すると、２期目は上昇して１００円になるか、さらに下降して９８円になるかです。
１期目で上昇して２期目で下降した場合と、１期目で下降して２期目で上昇した場合の原資産価格は、共に１００円となります。 |
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| 現在 |
１期 |
２期 |
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102
100
98 |
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／ |
| 100 |
／ |
＼ |
| ＼ |
／ |
| |
|
＼ |
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格子を３期間に拡張すると、３期間後には、４通りの原資産価格が予想されます。
１期目は、ノード１００円から１０1円に上がるか９９円に下がるか、という２通りの経路しかありません。格子数は１つです。
２期目は、ノード１０１円から１０２円に上がるか１００円に下がるかという経路と、ノード９９円から１００円に上がるか９８円に下がるかという経路に広がります。格子数は２つになります。
ノード１０１円から下降した場合と、ノード９９円から上昇した場合は共に同じノード１００円に到達します。
３期目には、３つの格子ができることになります。
このように、ｎ期間後にはｎ個の格子ができることがわかります。
３期間の全体の格子数は、６個（１+２+３＝６）になります。
ｎ期間の全体の格子数は、ｎ（n＋１）／２
個と計算されます。 |
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３期間 |
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１
期
目 |
２
期
目 |
３
期
目 |
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１０３ |
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／ |
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／ |
＼ |
１０１ |
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１００ |
／ |
＼ |
／ |
| ＼ |
／ |
＼ |
９９ |
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＼ |
／ |
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|
＼ |
９７ |
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ｎ期間後の格子数は
ｎ個
ノード数は ｎ+１ |
| 全体の格子数
： ｎ(ｎ+1)÷２ |
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◆オプション価値とオプション価格
オプション価格とは、市場でオプション価値に付けられる値段のことです。したがって、オプション計算モデル（ＢＳモデル、２項モデル）で計算しているオプション価値というのは理論価格のことを意味します。
２．２項モデルの計算
２項モデルは、（１）原資産価格を予測する、（２）予測された将来のオプション価格から、現在のオプション価格を逆算する、という計算を行うために格子パターンを利用しています。
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（１）原資産価格の予測
現在の原資産価格から将来の原資産価格を予測します。
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例えば、現在の原資産価格が１００円であるとして、１期間後に１０％上昇するか下降するかの仮定をすると、１期間後の原資産価格は、
１１０円（１００×１．１＝１１０）か、９１円（１００÷１．１＝９０．９）と予測されます。
上昇率（Ｕｐ）をＵ＝１．１、下降率（down）をｄ＝１÷Ｕ＝０．９１ とすると、
１００×Ｕ または １００×ｄ
で、一期先の原資産価格の計算が行えます。
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ＣＲＲモデルでは、U＝ｅ σ√t 、ｄ＝ｅ
-σ√t と設定して計算します。
※実際の計算では、１期間の上昇または下降はごく微小な数値ですが、ここでは計算をわかりやすくするために、１０％という大きな数値で説明しています。 |
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（２）オプション価値の計算
◆現在のオプション価値の計算
将来の原資産価格が予想されると、現在のオプション価値が計算できます。
例えば、行使価格１００円のコールオプションの場合、オプション価値は、
原資産価格が１１０円に上昇した場合のオプション価格（Cu）は、1０円（１１０−１００＝１０）
原資産価格が９１円に下降した場合のオプション価格（Cｄ）は、０円（オプション放棄） と計算されます。
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計算の方向 |
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← |
10 |
Cu＝uS−K
＝１１０−１００＝１０
オプション行使 |
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? |
／ |
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＼ |
0 |
Cｄ＝ｄS−K
＝９１−１００
＝−９
オプション放棄
|
| |
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Ｃ＝コールオプション価格、Ｓ＝原資産価格、Ｋ＝行使価格
※ｕは上昇（ｕｐ）、ｄは下降（down）を意味しています。 |
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◆１期前のオプション価値の計算（後戻し計算）
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２項モデルのオプション計算式を使うと、１期間後の２つのオプション価格を使って、1期前のオプション価格を計算することができます。 |
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例えば、Ｃｕ＝１０、Ｃｄ＝０ Ｐ＝０．６ Ｒ＝１ であった場合、次のように計算されます。
| Ｃ |
＝ |
１
Ｒ |
〔PＣｕ+（１−P）Ｃｄ〕 |
| |
＝ |
１
１ |
〔０．６×１０+（１−０．６）×０〕 |
| |
＝ |
６ |
Ｃ＝コールオプション価格、Ｒ＝現在価値を計算する割引率、Ｐ＝確率
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Ｐ＝（Ｒ−ｄ）/（u−ｄ） |
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ただし、 |
ｕ＝ｅ
σ√t/n |
ｄ＝１／ｕ |
R＝ｅ ｒ
・t/n |
ｅ＝ネピアの数（すう）、σ＝予想変動率、ｒ＝短期金利、ｔ
＝オプション行使期間、ｎ＝分割数 |
≪２項モデルのオプション計算式≫
１格子期間の原資産の動きと安全資産の動きを無裁定価格評価理論を使って組み合わせると、オプションのキャッシュフローが模倣できます。
２項モデルのオプション計算式は、この関係を連立方程式にして解いて求めたものです。
ここでいう原資産とは、オプション取引の対象商品で、株式オプションであれば株式のことを、ドル／円の通貨オプションであればドルのことを意味します。
安全資産というのは、デフォルトリスク（債務不履行）のない資産のことで、国債のような商品を意味します。利率が確定している大手銀行の定期預金をイメージしてもよいでしょう。数式上では、短期の借入金はマイナスの安全資産（─Ｂ）として扱います。
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株式オプションを例にとり、原資産である株式とマイナスの安全資産である借入金で、オプションと同じキャッシュフローを模倣してみましょう。
数式 Ｃ＝ΔＳ─Ｂ
とおき、これを使ってオプションが上昇した場合（Ｃｕ）と下降した場合（Ｃｄ）の連立方程式を設定します。Ｒ＝（１+ｒ）で ｒ
は安全利子率を意味します。ｒ が1％であるとき、Ｒは１．０１となります。
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Ｃ＝ΔＳ−Ｂ |
／
＼ |
Ｃｕ＝ΔｕＳ−ＲＢ … （１） |
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Ｃｄ＝ΔｄＳ−ＲＢ …
（２） |
Δ（デルタ）：ヘッジ比率、Ｓ：原資産価格、Ｃ：コールオプション価格、Ｂ：借入金（負の安全資産） |
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この連立方程式をΔ（デルタ）とＢについて解くと、
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Ｂ |
＝ |
１
Ｒ |
・
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ｄ・Ｃｕ−ｕ・Ｃｄ
（ｕ−ｄ） | |
Ｃ＝ΔＳ−Ｂ だから、
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Ｃｕ−Ｃｄ
（ｕ−ｄ） |
−
|
１
Ｒ |
・
|
ｄ・Ｃｕ−ｕ・Ｃｄ
（ｕ−ｄ） |
|
Ｃ |
＝ |
|
|
|
ただし、 |
U＝ｅ
σ√t/n |
ｄ＝１／U |
R＝ｅ ｒ
・t/n |
※ここで、R＝ｅｒ・t/n は、現在価値を計算する割引率を示しています。
さらに、Ｐ＝（Ｒ−ｄ）/（u−ｄ）とおくと、この計算式は、下記のように変形できます。
Ｐ＝確率、ｎ＝期間数、 ｒ＝短期金利、ｔ
＝期間、ｑ＝原資産利回り、ｅ＝ネピアの数（すう）
この式は、オプションの期待値（平均値）を求め、そこから現在価値を計算することを意味しています。
ここで、原資産が利回り ｑ ％をもつ場合には、ｒ
％を（ｒ−ｑ）％に入れ替えて、Ｐを計算します。
Ｐ＝〔ｅ（ｒ−ｑ）ｔ−ｄ）/（u−ｄ）〕
ｑ
は、原資産が株式の場合は配当利回り、原資産が外国為替の場合は外国通貨の金利を意味します。 |
参考 ：
連立方程式の計算
≪２項モデル計算の実際≫
２項モデルでは、格子数が多いほど計算は正確になります。しかし、計算時間も長くなるため、通常３５期間ぐらいで計算しています。３５期間でも、６３０回（３５×３６÷２＝６３０）もの繰り返し計算が必要になります。
オプション価格は、次の３つのステップで計算されます。
（１）原資産がどのように変動するか、各格子点順に満期日まで原資産価格を計算します。
（２）満期日のオプションの行使価値（本源価値）を計算します。
（３）２項モデル式を使って、満期日のオプション価値から１期間ずつ、格子を現在までさかのぼる後戻し計算をします。
◆ヨーロピアンタイプのオプション計算
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ヨーロピアンコールオプション
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上段の計算式
（原資産価格） |
原資産価格が上昇した場合…U＝ｅ
σ√t/n
下降した場合…ｄ＝１／U |
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下段の計算式
（オプション価格） |
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| 原資産価格 Ｓ＝１００ |
行使価格 Ｋ＝１００ |
期間 t＝０．５
（６ヶ月） |
ボラティリティ σ＝０．３
（３０％） |
| 短期金利 r＝０．１（１０％） |
原資産利回りｑ＝０．２
（２０％） |
期間数 ｎ＝４
（期間６ヶ月を４つに分割） |
ｅ＝ネピアの数（すう） |
コールオプション価格 ： ５．２５
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表の上段 原資産価格
下段
オプション価格 |
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１期目 |
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２期目 |
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３期目 |
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４期目 |
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／
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|
／
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|
＼
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|
／
|
|
＼
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|
／
|
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|
／
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|
＼
|
|
／
|
|
＼
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|
|
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|
／ |
|
＼
|
|
／
|
|
|
|
＼
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|
／
|
|
＼
|
|
|
|
|
|
＼
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|
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|
|
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|
／
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|
|
|
|
|
|
＼
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|
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|
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|
|
＼
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|
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※下段のオプション価格は、１〜３期目はオプションを保有しているときのオプション価値、４期目はオプションを行使したときのオプション価格となります。
≪解説≫
原資産価格が上昇し続けた場合を例にとって計算してみましょう。
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上段の計算方法 |
U＝ｅσ√t/n |
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現在→１期目 |
原資産価格１００×U＝１１１．１９ |
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１期目→２期目 |
原資産価格１１１．１９×U＝１２３．６３ |
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２期目→３期目 |
原資産価格１２３．６３×U＝１３７．４６ |
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３期目→４期目 |
原資産価格１３７．４６×U＝１５２．８５ |
オプション価格をさかのぼる後戻し計算をしてみましょう。
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下段の計算方法 |
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４期目→３期目 |
Ｃｕ＝５２．８５ Ｃｄ＝２３．６３ で計算すると、C＝３５．３１ |
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３期目→２期目 |
Ｃｕ＝３５．３１ Ｃｄ＝９．６９ で計算すると、C＝２０．０７ |
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２期目→１期目 |
Ｃｕ＝２０．０７ Ｃｄ＝３．９７ で計算すると、C＝１０．５２ |
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１期目→現在 |
Ｃｕ＝１０．５２ Ｃｄ＝１．６３ で計算すると、C＝５．２５ |
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◆アメリカンタイプのオプション計算
２項モデルでは、アメリカンタイプ（満期日前にいつでも行使できる）のプレミアム計算が行えます。オプションが満期日前に行使されるのは、満期日まで保有するより有利な場合です。２項モデルでは、オプションを早期に行使した方が有利かどうか、各ノ−ド（格子点）で調べることができます。
アメリカンタイプの計算は、各ノードで行使した場合の実現価値と、２項モデルで一期先の期待値から計算したオプション価値（保有価値）を比べて、大きい方をその時点のオプション価値として、格子をさかのぼっていく方法です。
※実現価値とは、オプションを早期に行使した場合のオプション価値のことです。これを行使価値と呼ぶと行使価格と混同しやすいので、実現価値と言い換えさせていただきました。
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