１．デュレーションとは何か

≪平均回収期間≫

デュレーションとは、債券に投資された資金の平均回収期間のことをいいます。

利付債券に投資されたお金は、クーポンレートと満期日に支払われる償還額という形で回収されます。この複数のキャッシュフローを一本にまとめたと考えた場合の債券の残存期間がデュレーションです。

例えば、額面１００円、残存期間５年、クーポンレート５％（年１回）、最終利回り３％の債券のデュレーションは、４．５７年となります。

割引債は、クーポンの支払いがないため、残存期間は、デュレーションと一致します。残存期間５年の割引債のデュレーションは、５年です。

≪価格弾力性≫

デュレーションは、債券の価格弾力性としての意味をもっています。価格弾力性とは、金利の変化に対する債券価格の変化の割合のことをいいます。

例えば、金利が３％動いた時に債券価格が６％動いたとすると、価格弾力性は、２（０．０６÷０．０３＝２）となります。

価格弾力性を数式にすると、価格Ｐの変化率を金利（１＋ｒ）の変化率で割ったものとして書くことができます。
Δは、ほんの少しの変化を表わす記号でデルタと読みます。つまり、ほんの少し変化した時の割合という意味です。

（証明は、脚注を参考）

≪修正デュレーション≫

デュレーションが価格弾力性であることを利用して、利回りの変化に対する債券価格の変化を計算してみます。

例えば、利回りが１％下がったときに、債券価格がいくら上がるかを計算することができます。
債券価格１０５．６５、デュレーション２．８６年、利回り３％であれば、債券価格は２．９３円上昇します。

この利回りが１％変化したときの債券の価格変化を、金額デュレーションとか、ダラーデュレーションと呼んでいます。

この計算には、デュレーションを（１＋最終利回り）で割ったものを使います。これを修正デュレーションと呼んでいます。

デュレーションは、投資資金の平均回収期間という意味と、金利が動いたときに債券価格がどのように動くかという価格弾力性という意味をもっています。デュレーションのことを、修正デュレーションと区別して、マコーレ・デュレーションと呼ぶことにします。

２．デュレーションの計算法

デュレーションは、債券の各キャッシュフロー（クーポン金額や償還元本）の現在価値に回収期間（年数）を掛けて、債券価格で割ったものです。債券価格というのは、各キャッシュフローの現在価値の合計です。

例えば、額面１００円、残存期間３年、クーポンレート５％（年１回）、最終利回り３％の債券のデュレーションは、次の計算式により、２．８６年と計算されます。

これを文字式にすると次のようにまとめられます。

計算式のＤは、デュレーションの略です。ｔ は、何年目かを示します。ｒ は、最終利回りです。Σは、合計するという意味で、大文字のギリシャ文字でシグマと読みます。

３．デュレーションと債券価格

利付債の将来価格は、売却時点の債券価格、クーポン収入、クーポンの再投資収入の合計で決まります。

債券価格とは、債券の将来価値を現在価値に引き直したものと考えられます。債券価格には、金利が上がれば債券価格が下がり、金利が下がれば債券価格が上がるという関係があります。しかし、債券の将来価値は、現在の債券価格と同じ動きをするわけではありません。

割引債の場合には、金利が上がれば債券の将来価値が下がり、金利が下がれば債券の将来価値は上がります。しかし、利付債の場合には、金利が上がると債券価格は下がりますが、クーポンレートの再投資収入は増えることになります。

価格変動による損益効果と、クーポンレートの再投資価値の増減効果は互いに打ち消しあいます。

その結果、投資期間の最初の頃（短期的）には、価格の動きによる効果がクーポンの再投資効果を上回ります。そのため、金利が上がれば債券の将来価値は下落し、金利が下がれば債券の将来価値は上がります。

しかし、投資期間の最後の頃（長期的）には、クーポンの再投資効果が価格の動きによる効果を上回ります。そのため、金利が上がれば債券価値も上がり、逆に金利が下がれば債券価値も下がります。

ここに、残存期間３年、クーポン５％、利回り３％の債券があるとします。デュレーションは、２．８６年です。この債券を、１年目、２年目、デュレーション、満期日に売却した場合の将来価値と、利回りが１％上昇した場合と、低下した場合の将来価値を計算して一覧表にすると、次のようになります。

債券：残存期間３年、クーポン５％、デュレーション２．８６

ここで１年目の将来価値というのは、１年目のクーポンを受取って債券を売却した場合の債券価値という意味です。この表中の将来価値は、次の計算式で計算したものです。

この表から、デュレーション２．８６年目の債券価値は、金利が４％に上がっても、３％下がっても、１１４．９９円で変わらないということがわかります。価格変動による効果とクーポンの再投資効果が等しい債券の保有年数がデュレーションです。つまり、デュレーションは、金利変動のリスクを受けないで債券を売買できるポイントです。

金利が上がる場合、1年目で売却すると、１０６．８９円でしか売れません。利回り３％の時の１０８．８３円から比べると、損をしてしまいます。逆に、満期まで待てば、一番高い価格１１５．６１円で売れることがわかります。

つまり、金利上昇が予想されるのであれば、デュレーションより長く保有して売却した方が収益を上げられることになります。逆に、金利低下が予想されるのであれば、デュレーションの手前で売却した方が収益を上げられることになります。

４．デュレーションの特性

債券のデュレーションは、残存期間、クーポン、利回りなどの要素において、次のような特性があります。

≪残存期間≫

債券の残存期間が長い（短い）ほど、デュレーションは大きく（小さく）なります。デュレーションは平均回収期間ですから、残存期間が長くなると回収期間も長くなります。

例えば、額面１００円、クーポンレート５％、利回り３％のデュレーションは、残存期間３年では２．８６年ですが、残存期間５年になると４．５７年になります。

≪クーポン≫

クーポンレートが高い（低い）ほど、デュレーションは小さく（大きく）なります。クーポンレートが高いと、早期に回収される資金が増えるので、デュレーションは小さくなります。逆に、クーポンレートがゼロならば、デュレーションは大きくなって債券の残存年数と一致します。

例えば、額面１００円、残存期間３年、利回り３％の利付債の場合、クーポンレート０％ではデュレーションは３年、クーポンレート５％では２．８６年、クーポンレート１０％では２．７６年と小さくなります。

≪利回り≫

利回り水準が高い（低い）ほど、デュレーションは小さく（大きく）なります。利回り水準が高いと再投資効果も大きくなるので、デュレーションは小さくなります。利回り水準が低いと再投資効果も小さくなるので、デュレーションは大きくなります。

例えば、額面１００円、残存期間３年、クーポンレート５％の利付債の場合、利回りが３％の場合のデュレーションは２．８６年ですが、利回りが１０％になるとデュレーションは２．８５年と小さくなります。

５．デュレーションの利用法

デュレーションは、債券やポートフォリオのリスク管理に利用されます。デュレーションは、金利が変動しても債券価値が影響を受けない期間ですから、ポートフォリオのデュレーションを投資期間に合わせると金利リスクが回避できます。これをイミュニゼーション（免疫化）戦略と呼んでいます。

一方、積極的に金利リスクをとる戦略にデュレーションを利用する方法もあります。 金利が低下すると予想する場合には、ポートフォリオの投資期間に対してデュレーションを大きくします。逆に金利が上昇すると予想する場合には、ポートフォリオの投資期間に対してデュレーションを小さくします。

投資期間がデュレーションより短い場合、価格変動の効果が再投資効果より大きくなるので、金利が低下すれば、ポートフォリオ価値を上昇させることができます。逆に、投資期間がデュレーションより長い場合、再投資効果が価格変動の効果より大きくなるので、金利が上昇すれば、ポートフォリオ価値を上昇させることができます。

◆参考

◆脚注

デュレーションが債券の価格弾力性であることの証明